精度と誤差

真の半径を\(r\)とし、測定した半径が真値より\(α \)の割合だけ大きく\(r(1+α)\)になった場合を考えます。

この測定値を使って円の面積\(S\)を求めます。

測定値から求めた面積\(S\)は \[

\begin{eqnarray*}

S

& = & \pi (r (1 + \alpha)) ^ 2\\

& = & \pi (r + r \alpha) ^ 2\\

& = & \pi (r ^ 2 + 2 r ^ 2 \alpha + r ^ 2 \alpha ^ 2)\\

& = & \pi r^2 + 2 \pi r ^ 2 \alpha + \pi r ^ 2 \alpha ^ 2

\end{eqnarray*}

\] 真の面積を\(T\)とすると

\(T = \pi r ^ 2\)

真値を基準にした面積の相対誤差を\(E\)とすると \[

\begin{eqnarray*}

E

& = & \frac{S}{T}-1\\

& = & \frac{\pi r ^ 2 + 2 \pi r ^ 2 \alpha + \pi r ^ 2 \alpha ^ 2}{\pi r ^ 2} - 1\\

& = & \frac{\pi r ^ 2}{\pi r ^ 2} + \frac{2 \pi r ^ 2 \alpha}{\pi r ^ 2} + \frac{\pi r ^ 2 \alpha ^ 2}{\pi r ^ 2} - 1\\

& = & 1 + 2 \alpha + \alpha ^ 2 - 1\\

& = & 2 \alpha + \alpha ^ 2

\end{eqnarray*}

\] 例えば\(\alpha = 0.01\)、つまり半径を真値より\(1 \%\)大きく測定した場合、 \[

\begin{eqnarray*}

E

& = & 2 \alpha + \alpha ^ 2\\

& = & 2 (0.01) + (0.01) ^ 2\\

& = & 0.02 + 0.0001\\

& = & 0.0201

\end{eqnarray*}

\] したがって、面積の相対誤差は\(0.0201\)、つまり\(2.01\%\)です。

半径の誤差率が小さくて面積の誤差率がおおよそそ\(2\)倍になった。